Amir Tebenikhin begon op zijn zesde piano te leren bij zijn vader Vladimir Tebenikhin, een oud-leerling van pianist Lew Oborin. Hij studeerde aan de Baiseitowa Muziekschool in Almaty (Kazachstan), bij Michail Voskressensky aan het Tchaikovsky Conservatorium in Moskou en vervolmaakte zich bij Karl-Heinz Kämmerling aan de Hochschule für Musik und Theater Hannover.

Als winnaar van het Vianna da Motta concours in Portugal kon hij in de Carnegie Hall in New York, de Wigmore Hall in Londen en de Salle Pleyel in Parijs optreden. Hij liet zich ook opmerken als laureaat op de wedstrijden van Glasgow (2004), Carl Bechstein (2006) en Anton Rubinstein Dresden (2007). In 2009 won hij de George Enescuwedstrijd in Boekarest en in 2011 de eerste Deutscher Pianistenpreis van het International Piano Forum.

Amir Tebenikhin trad op festivals op in Roemenië (Enescu Festival), Portugal (Sintra, Madeira), Frankrijk (Midem), Duitsland (Klavier-Festival-Ruhr, Bechstein Konzertreihe, The Next Generation II Festival, Winners & Masters in München, Gewandhaus zu Leipzig), België (Festival de Wallonia, Alden Biesen, Concerts de Midi, Pianotune), Polen (Chopin Festival in Antonin, Festiwal Pianistyczny in Warschau), Tsjechië (Ambassadors Concert Series), Rusland (Richter Yamaha Festival), de Verenigde Staten (Ambassy Series, Washington) en Japan (Tokyo Summer Festival).

In concert verschijnt Amir Tebenikhin regelmatig in Europa, Latijns-Amerika, Japan, Centraal-Azië en de Verenigde Saten, en dat met onder andere de Liverpool Philharmonic o.l.v. Vasily Petrenko, Nationaal Orkest van België, Gulbenkian Symphony Orchestra, European Union Youth Orchestra o.l.v. Vladimir Ashkenazy, Moscow Virtuosi o.l.v. Vladimir Spivakov, Wiener Kammerorchester, Scottisch National Symphony Orchestra o.l.v. Alexander Lazarev, Sendai Symphony Orchestra (Japan), Kazakh State Symphony Orchestra, Shanghai Symphony Orchestra.

Hij heeft talrijke radio- en cd-opnames o.a. bij Naxos, Classical Records, Cypres, K&K Verlagsanstalt en Genuin op zijn actief.