Andrey Baranov studeerde aan het Rimsky-Korsakov Conservatorium bij Vladimir Ovcharek en Pavel Popov, en ging zich daarna vervolmaken bij Pierre Amoyal aan het Conservatorium van Lausanne, waar hij in 2009 assistent werd. In 2008 won hij de Internationale Muziekwedstrijd Benjamin Britten (Londen) en het Henri Marteau concours (Lichtenberg), en in 2010 werd hij laureaat van de internationale wedstrijden in Sendai (Japan), Indianapolis en Unisa (Zuid-Afrika), en van de Paganiniwedstrijd (Genua) en de Oistrakhwedstrijd (Moskou). Na zijn debuut met het Filharmonisch Orkest van S int-Petersburg in 2005 trad hij op in de vijf werelddelen, in prestigieuze zalen als het Concertgebouw (Amsterdam) en de Tchaikovskyzaal (Moskou), en op festivals als de Salzburger Festspiele. In 2012 verleende de familie van David Oistrakh zijn naam aan het kwartet waarvan Andrey Baranov eerste violist is.